Statistik : Distribusi Frekuensi, Statistik Sampel dan Himpunan

Distribusi Frekuensi,  Statistik Sampel, dan Himpunan

Untuk memenuhi tugas Mata Kuliah : Statistik II

Dosen : Effendi SE,Mm

Oleh    :

Kiki Mailan Riski (13402428)

S1 Akuntansi ( B – Pagi)

Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi ( STIE )

Sultan Agung Pematangsiantar

2014-2015

 

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Arti dan Ruang Lingkup

Metode statistik acapkali dianggap sebagai metode untuk mengumpulkan, mengolah, menganalisa dan menginterpretasi data kuantitatif.  Metode demikian itu bukan saja mempersoalkan cara pengumpulan, pengolahan penyajian dan analisa dara kuantitatif secara deskriptif tetapi juga mempersoalkan cara menarik kesimpulan tentang karakteristik populasi dengan menggunakan data sampel yang terbatas. Data kuantitatif umumnya diperoleh dari hasil observasi atau percobaan secara statistik yang bersifat kuantitatif.

Observasi yang bersifat kuantitatif dapat merupakan serangkaian observasi atau pengukuran Kuantitatif mengenai seluruh atau sebagian proyek dari objek yang sedang diteliti. Bila observasi dilakukan terhadap obyek yang terbatas jumlahnya, pengukuran langsung terjadap seluruh oyek masih mungkin dilakukan. Sebaliknya, jika jumlah objek yang hendak diteliti luar biasa besarnya , pengukuran atau observasi umumnya hanya dilakukan terhadap sebagian dari seluruh obyek yang bersangkutan.

Ada kalanya,ciri-ciri yang dimiliki obyek itu sendiri memang tidak memungkinkan kita untuk melakukan observasi secara menyeluruh. Dalam hal seperti itu, obsercasi terhadap sebagian dari keseluruhan objek merupakan suatu kelaziman dan ukan suatu pengecualian. Serangkaian obsetvasi yang dilakukan terhadap sebagian dari obuek dengan tujuan memperoleh gambaran mengenai keseluruhan onyek itu sendiri dinamakan Observasi Sampel.  Keseluruhan obyek yang tidak seluruhnya diobservasi tetapi merupakan obyek penelitian dinamakan Populasi.

1.2 Beberapa Aspek Tentang Persoalan Statistik Inferens

Pengumpulan data dengan menggunakan sampel bertujuan guna menarik suatu konklusi umum tentang suatu peristiwa yang sedang diselidiki dengan jalan menganalisa d0ata sampel yang bersangkutan. Atas dasar statistik sampel, statistisi menarik suatu kesimpulan (inferens) tentang karakteristik populasi dari mana data sampel tersebut dipilih. Penarikan kesimpulan secara demikian itu dapat merupakan pendugaan (estimate) tentang beberapa parameter distrinusi populasi atau mungkin merupakan pengujian suatu hipotesis yang menyatakan nilai parameter distribusi populasi.

1.3 Kegunaan Statistik Inferens Dalanm Bidang Penelitian

Metode statistik inferens membutuhkan cara pemikiran yang lebih kompleks jika dibandingkan dengan statistik deskriptif. Meskipun demikian, jika metode semacam itu dapat dimengerti dan digunakan dengan betul, maka metode tersebut dapat merupakan alat yang bergina bagi penelitian ilmiah maupun pengambilan keputusan dibidang manajemen.

Masalah dasar statistik ingerens ialah proses penarikan konklusi umum tentang data yang unsur-unsurnya tidak seluruhnya diobservasi. Proses sedemikian itu dinamakan induksi (induction) dan harus dibedakan dari proses logika lainnya yang dinamakan deduksi.

BAB II

DISTRIBUSI FREKUENSI

2.1 Distribusi Frekuensi sampel

Penyusunan data kedalam distribusi frekuensi diatas patut memperhatikan 3 hal pokok sbb :

1.      Penentuan Jumlah Kelas

Penentuan jumlah kelas tergantung ada pertimbangan pertimbangan praktis yang masuk akal dan kegunaan distribusi frekuensi itu sendiri. Dalam contoh di tabel, usia 15- wanita dikelompokkan kedalam 6 kelas sesuai dengan cara penyusunan distribusi usia yang umum digunakan dalam penelitian dan laporan kependudukan. Sebaliknya jumlah kelas jangan terlalu banyak tetapi juga jangan terlalu sedikt. Jumlah kelas yang terlalu banyak atau telalu sedikit tidak mungkin memberi gambaran yang sederhana dan jelas tentang keterangan keterangan yang tersimpul dalam data tsb. Sebagai pedoman tentatif guna menentukan jumlah kelas yang sebaiknya digynakan untuk pengelompokan data, struges mengemukakan suatu rumus :

k = 1 +3,322 Log n

k= Jumlah Kelas

n=Jumlah keseluruhan oobservasi yang terdapat dalam data sampel..

2.      Penentuan Interval Kelas

Besarnya interval kelas bagi tiap kelas bertalian erat dengan penentuan jumlah kelas dan sebaiknya diusahakan agar sama semua serta dalam bilangan ang praktis. Bilangan yang praktis ialah bilangan yang mudah digunakan untuk menghitung atau sebagai sebagai pedoman guna menentukan batas kelas maupun tepi kelas.

Contoh :

Data :

24	34	43	20	35	31	35	34	37	28
40	40	32	26	40	26	33	32	40	26
38	33	35	39	38	39	25	35	33	39
25	25	33	24	25	24	26	33	25	24
26	26	24	23	26	23	39	24	26	23
30	39	25	24	30	24	24	25	39	24
40	24	24	23	40	23	23	24	24	23
24	23	26	22	24	22	22	26	23	22
22	22	35	21	22	21	21	35	22	40
40	21	33	20	40	20	20	33	21	20
30	20	24	30	30	30	30	24	20	30
23	30	25	32	23	32	44	25	30	32
36	32	21	21	36	21	33	21	32	21
31	33	31	31	31	31	34	31	33	31
31	43	34	34	31	34	22	34	24	34

Jika di suatu data usia terendah adalah 19 sementara usia tertinggi ialah 44. Jika jumlah kelas di tentukan sebanyak 8 dan jika pengelompokan harus mecakup semua nilai-nilai observasi dari nilai terkecil sampai dengan nilai terbesar, maka perumus Sturges, Interval kelasnya menjadi :

I = (45-15)/8 = 3,75 atau 4

Distribusi Frekuensinya          :

Usia wanita peserta Program Keluarga berencana	Jumlah peserta wanita
15-18	0
19-22	16
23-26	36
27-30	38
31-34	24
35-38	22
39-42	9
43-46	5
Total	150

2.2  Beberapa Catatan Tentang Distribusi Frekuensi Sampel

-          Distribusi frekuensi Relatif
Dalam beberapa hal atau tujuan tertentu, penyajuan data sampel ke dalam distribusi frekuensi relatif akan lebih mudah dan berguna

Usia wanita peserta Program Keluarga berencana	frekuensi	Frekuensi Relatif	Persentasi dari jumlah peserta
15-19	1	0,0067	0,67
20-24	29	0,1933	19,33
25-29	43	0,2867	28,67
30-34	41	0,2733	27,33
35-39	24	0,16	16
40-44	12	0,08	8

-          Distribusi frekuensi Kumulatif

Distribusi frekuensi Kumulatif  lebih banyak digunakan daripada distribusi frekuensi biasa. Kumulatif banyak digunakan bagi pengukuran Median, modus, kuartil sampel dan sebagainya..

Usia wanita peserta Program Keluarga berencana	Jumlah peserta
< 15	0
< 20	1
< 25	30
< 30	73
< 35	114
< 40	138
< 45	150

Pada asasnya, penggunaan distribusi diatas dapat menghilangkan keraguan dalam memasukkan angka angka ke dalam kelas tertentu.

BAB III

PENGUKURAN STATISTIK SAMPEL

3.1       Beberapa pengertian tentang pengukuran deskriptif

            Data kuantitatif yang digunakan dalam metode statistik dapat merupakan hasil pengamatan dari sebagian atau seluruh unsur populasi. Data sedemikian dapat saja menyatakan nilai nilai dari suatu variabel.

            Prosedur umum yang digunakan untuk menggambarkan ciri serangkaian data kuantitatif sebetulnya merupakan prosedur penyederhanaan data itu sendiri. Pengukuran tentang tendensi sentral dari serangkaian data samlpel umumnya dibutuhkan karena pengukuran secara demikian memberi gambaran tentang pemusatan nilai nilai observasi sampel. Pengukuran lain yang penting ialah pengukuran tentang dispersi atau variasi data sampel itu sendiri. Pada hakekatnya, pengukuran tersebut beguna untuk memberi makna pada hasil pengukuran tendensi sentral diatas.

3.2       Pengukuran Tentang Tendensi Sentral

Jika dilakukan penelitian terhadap motivasi, pada umumnya dapat diketahui bahwa sebagian besar dari orang yang diteliti mempunyai motivasi yang “normal”. Kemudian jika diambil angka 100 sebagai indeks (ukuran) normalitas, maka sebagian besar orang yang kita selidiki akan mempunyai angka motivasi di sekitar 100. Hanya sebagian kecil saja dari mereka yang angka motivasinya menyimpang jauh dari indeks normalitas itu.

Salah satu tugas dari statistika adalah mencari suatu angka di sekitar mana nilai-nilai dalam suatu distribusi memusat. Angka yang menjadi pusat suatu distribusi disebut “tendensi sentral”. Ada tiga macam tendensi sentral yang sangat penting untuk dibahas, yakni: Mean, Median, dan Mode. Ketiganya mempunyai cara-cara menghitung yang berbeda-beda, dan mempunyai arti yang berbeda pula sebagai alat untuk mengadakan deskripsi suatu distribusi.

3.2.1 Rata Rata Hitung

Adalah suatu nilai rata-rata dari semua nilai data observasi. Nilai rata-rata data observasi di beri simbul u (miyu)

Ada 2 macam Mean :

a.       Rata – rata data observasi tidak berkelompok

Merupakan nilai yang diperoleh dari penjumlahan semua data observasi dibagi dengan banyaknya data.

b.      Rata – rata data observasi berkelompok

Merupakan jumlah hasil kali antara frekuensi dengan nilai tengah semua kelas jumlah frekuensi.

3.2.2 Median

Adalah nilai data observasi yang berada di tengah-tengah urutan data tersebut, atau data observasi yang membagi data observasi yang sudah diurutkan menjadi 2 bagian yang sama banyak.

Nilai median data observasi diberi symbol Md

Ada 2 macam Median :

a.       Median data observasi tidak berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

·         Urutkan data observasi dari kecil ke yang besar

·         Tentukan letak median dengan rumus

·         Tentukan nilai median

Contoh :

Data Ganjil

Berikut ini adalah skor tes prestasi 9 karyawan PT. Probo :

78        56        66        94        48        82        80        70        76

Median skor tes 9 karyawan tersebut ditentukan dengan cara :

No urut	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Nilai	48	56	66	70	76	78	80	82	94

Letak Median : 9 + 1  

                                        2

                                    = 5

                    

jadi letak median pada urutan data ke 5

b.      Median data observasi berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah :

·         Tentukan kelas median dengan rumus

Kelas Median : N

                                      2                         

·         Tentukan median dengan rumus

3.2.3 Modus

a.       Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul (nilai dengan frekuensi muncul terbesar)

b.      Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal

c.       Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut multimodal

Ada dua macam modus :

a.       Modus data observasi tidak berkelompok

Contoh :

·         Berikut ini skor tes prestasi PT Probo :

70  56        66        70        48        82        80        70        76        70

frekuensi terbesar adalah 70 yaitu ada 3 orang

jadi modus skor prestasi karyawan PT. Probo : 70

b.      Modus data observasi berkelopok, dapat ditentukan sebagai berikut :

·         Tentukan kelas modus yaitu yang mempunyai frekuensi terbesar.

·         Tentukan modus dengan rumus.

Contoh :Berikut ini data mengenai laba PT. Probo bulan April 2006

BAB IV

ASAS-ASAS TEORI HIMPUNAN

4.1       Pengertian dasar tentang Himpunan

            Himpunan (zet)/Kelompok merupakan kumpulan dari objek yang dirumuskan secara tegas dan dapat dibeda-bedakan dalam himpunan, tiap-tiap objek membentuk suatu himpunan secara kolektif yang dinamakan unsure atau elemen/anggota. Tiap-tiap unsur merupakan anggota dari himpunan tersebut. Dan lambing himpunan biasa ditulis dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya ditulis dengan huruf kecil.

Misal :    jika a merupakan suatu objek dan s adalah suatu himpunan maka a merupakan unsur dari himpunan s dan dapat ditulis sebagai berikut :

a Îs → a adalah anggota/unsur/elemen dari himpunan s

s={a} → himpunan s anggotanya adalah a.

sebaliknya jika a bukan unsur dari himpunan s maka penulisannya a Ï s → a bukan anggota dari himpunan s.

Jika suatu himpunan terdiri dari sejumlah unsur yang terbatas maka disebut himpunan terbatas (finite zet), Contoh : S = {1,2,3}.

Sebaliknya, himpunan dari sejumlah unsur yang tidak terbatas disebut himpunan tidak terbatas (unfinite zet), contoh : s = {1,2,3,…….}.

4.2 Perincian Himpunan

1.      Dari teori himpunan kita mengenal 2 cara atau metode penulisan himpunan, yaitu :

1.      Roster methode/Cara daftar

2.      Rule methode/Cara kaedah

·         Perincian dengan cara daftar yaitu semua unsur himpunan ditulis atau dinyatakan diantara tanda kurung kurawal {…………….}.

S = {1,2,3,4,5,6}

A = {a,b,c,d,….z}

·         Penulisan himpunan dengan cara kaedah

Syaratnya :

bahwa setiap objek agar dapat dianggap unsur himpunan tertentu juga harus ditulis diantara kurung kurawal

Cara daftar	Cara kaedah
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {a,b,c,d,….z}	A = {x=x adalah semua huruf dalam susunan alphabet}

Contoh soal :

Jika himpunan H unsur-unsurnya adalah semua huruf hidup dari susunan alphabet, tulislah himpunan H dengan 2 cara (cara daftar dan kaedah)

Penyelesaian :

H = {a,e,i,o,u} → cara daftar

H = {x=x adalah semua huruf hidup dalam alphabet} → cara kaedah.

4.3       Himpunan dan Sub-Himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

4.4       Asas-Asas Cara Kerja Himpunan Dan Sub-himpunan

o      Gabungan

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

·         {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.

·         {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.

·         {Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

·         A ∪ B = B ∪ A.

·         A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

·         A ⊆ (A ∪ B).

·         A ∪ A = A.

·         A ∪ ∅ = A.

·         A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

o    Irisan

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

·                      {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.

·                      {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.

·                      {Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.

·                      {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

·                      A ∩ B = B ∩ A.

·                      A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

·                      A ∩ B ⊆ A.

·                      A ∩ A = A.

·                      A ∩ ∅ = ∅.

·                      A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

o    Komplemen

Diferensi simetris himpunan Adan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A’. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

·         {1, 2} \ {1, 2} = ∅.

·         {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

·         A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.

·         A ∪ A′ = U.

·         A ∩ A′ = ∅.

·         (A′)′ = A.

·         A \ A = ∅.

·         U′ = ∅ dan ∅′ = U.

·         A \ B = A ∩ B′.

·         DIAGRAM VENN

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika.

 Hubungan antara set A, B dan C